一元三次方程

前言

在小学时，我学了等号一边有未知数，另一边没有未知数的方程，例如：$x+6=10$

在初中一年级时，我学了等号两边都可能有未知数的一元一次方程，例如：$x+6=2x+4$

因为这种方程需要通过移项来解决。移项就要涉及正负号，而负数是到了初一才学的，所以先学负数再学一元一次方程。

在初中二年级时，我学了一元二次方程，例如：$x^2–3x+2=0$

因为这种方程需要通过开平方来解决。开平方就要涉及无理数（实数），而无理数（实数）是到了初二才学的，所以先学实数再学一元二次方程。

那么接下来该学一元三次方程了吧？比如：$x^3–21x+20=0$

高中数学？大学数学？然而奇怪的是，我的数学课止步于此，并没有在之后的任何数学课上学到过一元三次方程。原因呢🧐？今天就来水一篇。

准备知识

一元二次方程的求根公式

这个初中数学内容应该不难，家有鸡娃的估计还得亲自下场辅导呢！

同时还知道，如果 $\Delta =b^2–4ac<0$ 时，方程 $a{x}^2+bx+c=0 (a\ne 0)$ 就没有实数解，因为负数不能开平方。

韦达定理

这个初中数学内容也是不难的，但奇怪的是现在的数学教材却把它作为选学内容了，想当年这可是考试的重点😵‍💫

虚数和复数

在高中数学的最后一章（现在的教材好像往前挪了）突然说要对负数开平方，原因不明，然后就没有然后了，就是为了好玩吗？😄大学数学也没有这个内容。

$i^2=–1; i=\sqrt{–1}$

一个简单的一元三次方程

现在就以$x^3–21x+20=0$为例，先说答案，它有三个实数解，而且都是整数：$x_1=1; x_2=4; x_3=–5$（代入进去一下子就能验证）

下面假设伟大领袖下令：数学中只能出现实数，实数就是全部的数。

卡丹公式的应用

一元三次方程有求根公式，因为是意大利人 Cardano 发现的，所以又叫卡丹公式。公式写起来比较复杂，所以我们用具体的数字来代替字母，这样看起来比较舒服😌。

首先 x 一定是实数（因为伟大领袖说了，而且我们已经知道了答案 x = 1 或 4 或 -5，属于整数，是实数里面最根正苗红的那一派），肯定能写成两个实数（ u 和 v ）的和：$x=u+v$

那么，方程就变成 $(u+v{)}^3–21(u+v)+20=0$

而如果直接把$(u+v{)}^3$展开，得：$(u+v{)}^3=u^3+3u^{2}v+3u{v}^2+v^3$，也就是$(u+v{)}^3–3uv(u+v)–(u^3+v^3)=0$

并列起来看看吧：

$\{\begin{array}{l}(u+v{)}^3– 21(u+v)+ 20 =0\\ (u+v{)}^3–3uv(u+v)–(u^3+v^3)=0\end{array}$

一个大胆的假设

看了上面两个等式，感觉：确实很整齐而且漂亮，只是好像变复杂了（一个未知数 x 变成了两个未知数 u 和 v）。但是可以来个大胆的假设，如果 u 和 v 满足：

$\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=–20\\ uv=7\end{array}$

那么 u 和 v 就是解。

把等式 $uv=7$ 两边取立方，得到 $u^3{v}^3=343$，即：

$\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=–20\\ u^3{v}^3=343\end{array}$

变身韦达定理

一下子能看出来上面这个式子就是韦达定理，u³ 和 v³ 是如下一元二次方程的两个解：

$t^2+20t+343=0$

死路

可是问题来了，这个一元二次方程里：

$∆={20}^2–4\times 343=–972<0$

所以 t 无解，因此 u³ 和 v³ 无解，因此 u 和 v 无解，因此 $x=u+v$ 无解。可是我们已经知道了 x = 1 或 4 或 -5。 死路了？问题出在哪里？

强行给负数开平方试试

此时就需要有革命家来反驳主席：在式子$x=u+v$中，就算 x 是一个实数（例如 1、4 或 -5），u 和 v 也有可能不是实数。一定存在着实数以外的数（虚数）。

下面我们强行给负数开平方，得到：

$\{\begin{array}{l}{u}^3=\frac{–20+\sqrt{\Delta }}{2}=\frac{–20+\sqrt{–972}}{2}=–10+15.5884\sqrt{–1}\\ v^3=\frac{–20–\sqrt{\Delta }}{2}=\frac{–20–\sqrt{–972}}{2}=–10–15.5884\sqrt{–1}\end{array}$

不要担心算错，验证一下，确实满足 $\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=–20\\ u^3{v}^3=343\end{array}$

一个数的立方根

既然知道了 u3 和 v3，那么自然就可以计算 $x=u+v$了：

$x=u+v=\sqrt[3]{–10+15.5884\sqrt{–1}}+\sqrt[3]{–10–15.5884\sqrt{–1}}$

且慢！开头说了， x = 1 或 4 或 -5，这是千真万确的事实，怎么现在出来个这么样的鬼东西？现在只得到一个 x 的解，而且还这么复杂。

再来个大胆的假设

我们不妨再来个大胆的假设：一个数开立方后不是只有一个解，而是有三个解。例如我们都知道$\sqrt[3]{8}=2$，那么还有别的解吗？有的，另外两个解分别是$–1+\sqrt{–3}$和$–1–\sqrt{–3}$。同理，此处u和v各有三个解，分别是：

$u=\sqrt[3]{–10+15.5884\sqrt{–1}}=\{\begin{array}{l}{u}_1=2.0057+1.7372\sqrt{–1}\\ u_2=–2.5183+0.7515\sqrt{–1}\\ u_3=0.5126–2.4887\sqrt{–1}\end{array}$

$v=\sqrt[3]{–10–15.5884\sqrt{–1}}=\{\begin{array}{l}{v}_1=2.0057–1.7372\sqrt{–1}\\ v_2=–2.5183–0.7515\sqrt{–1}\\ v_3=0.5126+2.4887\sqrt{–1}\end{array}$

虚数消掉了

惊讶地发现，两个一相加，虚数消掉了：

$x=u+v=\{\begin{array}{l}{u}_1+v_1=2.0057+2.0057\approx 4\\ u_2+v_2=–2.5183–2.5183\approx –5\\ u_3+v_3=0.5126+0.5126\approx 1\end{array}$

所以现在开头的疑问已经解决了：

• 为什么要对负数开平方：负数不开平方的话，一元三次方程无法解，即使三个根全部都是实数。
• 为什么数学课里没有一元三次方程：因为需要对一个数开立方得到三个根，但是这个过程需要借助一个选学内容（复数的三角形式），所以也没法学。

PS：本页的数学公式是用在线工具生成的MathML，再复制过来的。因此不需要用到非常笨重的 JS 库。非常适合我这种轻度用户。不过需要小心的是，这个工具在生成左大括号（也就是方程组的联立符号）时，用的是老版的<mfenced>：

<mfenced open="{" close="">
</mfenced>

这个元素只在 Safari 浏览器里面支持，其他都不支持。因此需要自己手动换成：

<mrow><mo>{</mo>
</mrow>